القطاع الطولى للنهر

يقصد به القوس الذى يمثل انحدار المجرى من منبع النهر إلى مصبه ، وعلى الرغم من وجود تباين بين القطاعات الطوليه لمختلف الانهار ، فإن شكلها العام مقعر نحو أعاليها ، وان تباينت درجات التقغر تبانيا كبيرا ، ففى الانهار الشابه يكون هذا التقعر تقريبى جدا ، لان استمرار القطاع يتقطع بواسطه الشلالات والجنادل ذات الاصل التركيبى والليثولوجى التى تتعاقب مع أجزاء القطاع تكون أكثر انتظاما .

وحتى فى الانهار الناضجه قد يكون قوس القطاع الطولى غير منتظم فقد يعقب جزء منه هينا جزء آخر شديد الانحدار فى اتجاة المصب ، ويحدث ذلك على سبيل المثال حينما يلتقى نهر قليل الحموله برافد له عظيم الحموله ، فان ازدياد الانحدار يصبح ضروريا عقب التقائهما . لكى تتوفر الطاقه اللازمه لتحريك ونقل تلك الحموله الاضافيه التى وردت إلى النهر الرئيسى فجأه .
ويجاهد كل نهر ويركز نشاطه فى الوصول إلى انحدار عام لمجراه ، بحيث يكفى هذا الانحدار لاعطاء تيار النهر سرعه تسمع بتوازن عمليات النحت والإرساب فحينما تصل مياه النهر إلى جزء من أجزائه وهى تفتقر إلى مزيد من الحموله بالنسبه لهذا الجزء من المجرى ، فإنها تندت فى القاع ، وبهذه الوسيله تضاف المواد المنحوته إلى حموله النهر . وتتناقص عمليه نحت القاع Degradation فى أدنى هذا الجزء من المجرى بسبب ازدياد الحموله ، فيقل الانحدار بالتدريج ، وتبعا لذلك تخف قوه النحت عموما على امتداد هذا الجزء إلى أن يصل النهر إلى سرعه معينه تسمح بتوازن بين النحت والارساب بالنسبه لهذا الجزء من المجرى . واذا وصلت مياه النهر إلى جزء آخر من مجرى النهر فيه تكون حموله المياه كبيره لاتتناسب مع انحداره وسرعه تياره ، فإن الارساب يحدث فى أعاليه ، ويقال أن النهر فى هذه الحاله يرسب ، ونتيجه للارساب Aggradation يعلو القاع ، فيشتدا انحدار هذا الجزء من المجرى ، وتزداد سرعه تياره بحيث تصبح كافيه لمجرد نقل حمولته . وفى كلتا الحالتين نرى أنه حينما يصل القطاع الطولى للنهر بواسطه نحت القاع أوبواسطه الإرساب إلى انحدار معين منتظم يكفى لاعطاء النهر مجرد سرعه تكفى لمجرد تحريك حمولته ، فإن قطاعه فى هذا الجزء أو ذلك يسمى حينئذ بالقطاع .
المتعادل Craded Profile ، أو بقطاع التوازن Profile Of Equilibrium وحين نبدأ من هذا المثال بجزء أو بآخر من النهر ، فإنه من الممكن ولو من الوجهه النظريه ، أن نطبق نفس المبادئ و الاسس على كل قطاع المجرى النهرى من منبعه إلى مصبه . فاذا حدث وتماثلث سرعه التيار وقدره النحت على جميع المجرى فان قطاعه المتعادل يصبح خطا مستقيما وهذا مستحيل ، فالنحت قرب المنبع يكون أقل من المتوسط بسبب صغر كميه المياه والحموله ، وهو أيضا أقل من المتوسط فى المجرى الادنى بسبب عظم الحموله ، بينما يبلغ النحت أقصاه فى المجرى الاوسط .
وتبعا لذلك يصير قطاع المجرى إلى مايشبه القوس ، فتكون بدايته مرتفعه عند المنبع ، ونهايته منخفضه عند مستوى البحر الذى يصب فيه ، والذى يمثل مستوى القاعدة بالنسبه للنحت . وتبدو كثير من الانهار التى تجرى فى الميدلاندز Middlands الانجليزيه وقد وصلت إلى مرحله التعادل ، ومنها الانهار التى تصب فى بحر الشمال . ويظل النحت مستمرا ولكن ببطء شديد حتى حينما يصل القطاع الطولى لدرجه التعادل فالنهر يحمل باستمرار ، مهما كان ضعيفا ، قدرا من المواد ينقلها إلى البحر ، وهذه المواد لاشك تشتق من حوض النهر . معنى هذا أن حوضه ما يزال يعانى من فقدان قسم من موارده ، وهذه المواد يتم نحتها أساسا من مجراه الاعلى ، أى من طرف القوس المرتفع وتبعا لذلك فإن قوس القطاع الطولى للنهر يأخذ فى الانبساط ببطء واستمرار .

هذا وقد افترضنا أن النهر فوق منحدر أرضى أصلى يتركب من صخور متجاتنسه فى طبيعتها ودرجه مقاومتها للتعريه حتى يمكننا فهم نشوء القطاع الطولى المتعادل بسهوله . والواقع أن هذه الحاله نادره الوجود فى الطبيعه . فألانهار تجرى عاده فوق نطاقات صخريه تتفاوت فى طبيعتها وتركيبها ومن ثم تتباين قدرتها على نحتها . ومن الممكن أن تظهر وتبرز طبقه صخريه مقاومه عبر الوادى ، تسبقها ( أعلى منسوبا ) . وتلحقها ( أدنى مسنوب ) طبقات أخرى لنيه ، فتتفاوت تبعا لذلك عمليات النحت لذلك عمليات النحت النهرى ، وتنشأ المساقط والجنادل . ويحاول النهر جاهدا للوصول إلى قطاعه المتعادل أن يتغلب عليها بالنحت ، فتختفى الجنادل بالتدريج ، وتتراجع الشلالات . ويختل القطاع المتعادل أيضا حينما تعترض مجرى النهر بحيره ، التى تمثل حينئذ مستوى قاعدة محلى للقسم من المجرى الذى ينتهى إليها .
وما يزال النهر يلقى فيها بالرواسب ليملأها ، وينحت مجراه عند مخرجه منها وفى النهايه تنصرف مياهها إلى النهر ، ثم يوائم النهر نفسه بعد ذلك ، ويوازن مجراه خلال الرواسب البحيريه وما تحتها من أساس صخرى .
* أسباب تعقر القطاعات الطوليه للأنهار :
كان يظن أن تقعر القطاع الطولى للنهر يعزى لسببين هامين هما :
1 ـ النحت الراسى قرب المنبع قليل نسبيا بسبب صغر كميه المياه المنصرفه إلى النهر ، ويسبب صغر الحموله اللازمه لتعميق المجرى . كما وأن النحت الرأسى قرب المصب ضعيف أيضا بسبب قله الانحدار ، وضعف التيار .
2 ـ النحت الرأسى يبلع أقصاه فى المجرى الأوسط ، لاجتماع عاملين مساعدين هما عظم الطاقه الحركيه للمياه ، وتضخم الحموله .
* لكن تبين أن السببين غير كافيين لتفسير الشكل الرياضى لقوس القطاع الطولى للنهر . وظهر عاملان آخران يضيفان الكثير لتوضح نشوء تقعر القطاع هما : ــ
العامل الأول : يكمن فى الحموله والتصريف المائى .
فرغم أن كميه الحموله الكليه المنقوله تزداد باتجاه مصب النهر ، فإن التصريف النهرى يزداد أيضا بتولى التقائه بالروافد . وتبعا لذلك تزداد مساحه القطاع العرضى لمياه النهر Cross-sectionalarea ، كما يكبر نصف القطر المائى Hydraulic Radius . ومن ثم يصبح النهر أكثر فاعليه ، وتتوافر له طاقه " احتياطيه " أكبر لاستخدامها فى نقل الحموله . وبعباره اخرى ، فرغم أن الحموله تتضخم ، فإن نقلها يتم فوق منحدر يزداد لطفا بالاتجاه نحو المصب .
العامل الثانى : تغير قوام الحموله تجاه المصب .
فالجزء العلوى من النهر يتميز بحموله تتألف من مواد خشنه ويتغير قوام الحموله فتصبح مكوناتها أدق فى المجرى الاوسط والادنى ، وهذه يمكن نقلها فوق منحدر يزداد لطفها كما أسلفنا.
ويبدو أن درجه سحق الحموله وتفتيتها عامل مهم فى التأثير على قوس القطاع الطولى للنهر . وقد أوضحت الدراسات أن السحق وتفتيت الحموله يتم بسرعه شديده تجاه منابع النهر ، ويتضاءل بشده تجاه مصب النهر أول الأمر ، وبعد ذلك بالتدريج حتى اذا ما و صلنا للجزء الأدنى من النهر احتفظت الحمله بثبات قوامها دون تغير . ولعل هذا يساعد فى تفسير انبساط Flatness كثير من القطاعات الطوليه للأنهار فى مجاريها االدنيا ، والازدياد الفجائى فى انحدارت مجاريها العليا .
وتنتفى هذه العوامل اذا ما حدث تناقص مستمر فى طاقه النهر صوب المصب فمن المعروف أن التصريف المائى وفاعليه النهر تزدادان فى هذا الاتجاه لكن الحال قد تتغير كليه اذا ما تناقصت سرعه النهر بشده فى ذات الوقت وهى عامل رئيسى فى تحديد طاقه النهر . وحتى عهد قريب كان يعتقد فى ذلك لان الفرق يبدو شاسعا لأول وهله بين سرعه السيل المترنحه فى منعطفات السهل الفيضى المنخفض .
وقد أثبتت الدرسات الحقلية التى قام بها الامريكيون حقيقه تبدو مدهشة ، مؤداها أن معدل سرعه الانهار Meanvelocity (أى التصريف الكلى بالامتار المكعبة فى الثانيه مقسوما على مساحه القطاع العرض للنهر) اما أن يبقى ثابتا أو يزداد قليلا بالاتجاه نحو مصب النهر .
ويرجع ذلك لسببين :
1 ـ التناقص والتلاشى التدريجى لوعوره المجرى بالاتجاه نحو المصب .
2 ـ كلما ازداد عمق المياه بالاتجاه نحو المصب ، كلما قلت قدرة وعورة القاع فى اعاقه حركه المياه خلال المجرى .
معنى ذلك الجريان السريع فى الانهار الجبليه أو فى المجارى العليا للأنهار يبدو مضللا ، لان " عروقا " من السرعة القصوى تتراءى للاعين دون حركه جرم مياه النهر ككل .
مفهوم التعـادل
كان جيلبيرت G.K.Gilbert . الامريكى أول جيومورفولوجى قرر مفهوم التعادل النهر بوضوح فى تعريف محدد مؤداه : أن النهر يصل إلى التعادل حينما يستهلك كل طاقته فى نقل المياه وحمولنها باتجاه المصب دون أن يفيض شىء من الطاقه للنحت " معنى هذا أن جيلبيرت يتعتقد أن النهر المتعادل غير قادر على تعميق واديه أو تغيير شكل وانحدار قطاعه الطولى بصوره مباشره . لكنه مع ذلك رأى أن النهر المكتمل الحموله يستطيع القيام بنحت جانبى ، لاعتقاده بأن الماء المتحرك قادر دائما على التقويض السفلى وغزو الضفاف مهما كانت ظروف النحت والارساب ونقل الحموله على قاع النهر .
وقد أقر "ديفيز" مفهوم التعادل ، لكنه أجرى عليه تعديلات مهمه . فهو لم يقبل القول بان النهر المتعادل ليست لديه القوه لنحت قاعه ، ورأى أن حاله التعادل تظهر مبكره نسبيا فى الدوره التحاتيه ، عاده عند حلول مرحله النضج . اما جيلبيرت فيرى ، حسب التعريف الآنف الذكر ، أن التعادل يأتى فى مرحله متأخره نظرا لان التعادل فى رأيه ، يحدد نهايه النحت الرأسى . ويعتقد ديفيز ان الحفاظ على حاله التعادل يستلزم بعض النحت الرأسى فى قاع النهر . وفى هذا المعنى يقول" تبعا للتغيرات المستمرة فى حجم النهر وحمولته ، خلال الدوره التحاتيه العاديه فإنه يلزم ، للحفاظ على حاله تعادل أى نهر ، حدوث تغير مماثل مستمر ، ولو صغير فى انحدار المجرى" .
ومادامت منحدرات جوانب الوادى معرضه للتراجع باستمرار ، والحموله التى ترد إلى النهر تصغر حجما وتزداد دقه فى مكوناتها ، فإن النهر يتوفر لديه فائض من الطاقه ، أى أنه لا يصبح متوازنا ، مالم ينجح فى تخفيض انحدار مجراه بالنحت ، ومن ثم يخفض طاقته المتاحه . وتبعا لذلك يمكن القول أن النهر لكى يحتفظ بحاله التعادل على المدى الطويل . فإنه ينبغى أن يفقد التعادل لفترات قصيره ، وتكون له القدره على غزو قاعه بالنحت الرأسى .
ولقد ارتضى معظم الجيومورفولوجيين مفهوم التعادل لانه يفسر كثيرا من الظواهر الخاصه بالنحت والارساب . فالنهر أحيانا ينحت رأسيا، لانه حينئذ يكون قليل الحموله Under Loaded ، واحيانا ينحت جانبيا ، لانه متعادل Graded ، واحيانا يرسب ، حينما يتغير من نهر متعادل إلى نهر كثير الحموله Over Loaded . ومع هذا فإن بعض الجيومورفولوجيين يشكك فى مفهوم التعادل وينتقده ولا يعتقد فى وجوده . والواقع أن الصعوبات الرئيسيه تتركز فى امكانيه البرهنه على وجود ذلك التوازن الدقيق ، والتعرف على مجرى متعادل فى الحقل . وقد اعتقد ديفيز نفسه أن النهر الذى يخلو من الجنادل والشلالات وهى الظواهر المثاليه لمرحله الشباب النهرى هو نهر متعادل . لكن من الواضح أن هذا الرأى لا ينهض دليلا نهائيا على وجود حاله توازن بين الطاقه والارساب . ولقد يظن أن حاله التعادل يمكن الاستدلال عليها بالعثور على نهر لا يقوم بنحت القاع ولابالارساب ، أو بعباره أخرى نهر يحتفظ بتوازنه فيما بين حالتى قله الحموله Uneder Loaded وكثرتها Over Loaded والواقع أن المشكله هنا تكمن فى أن بعض الانهار تنحت رأسيا وتغزو قيعانها من أجل الحفاظ على حاله توازنها أو لاسترجاع حاله التوازن ويقال لمثل هذا النهر أنه يعادل مجراه بالنحت Degeroding ، وبالمثل قد يكون الارساب مشيرا لحاله الترسيب Aggradation من أجل الحفاظ على التعادل أيضا .
ولقد قيل أن بكثير من الانهار قطاعا أعلى فيه يكون النحت الرأسى واضحا جليا ، وذلك نتيجه لان مياه المجرى تكون قليله الحموله Under Loadedو قطاعا أدنى فيه يسود الارساب وذلك بسبب كثرة الحموله وفيما بين هذين القطاعين يوجد ، بطبيعه الحال ، قطاع ثالث مكتمل الحموله Fully Loaded أو فى حاله تعادل . ورغم هذا فلم يتمكن أحد من البحاث حتى الان من البرهنه على أن التغير من حاله قله الحموله إلى حاله كثرتها تحدث على امتداد قطاع نهرى أوحتى عند نقطه معينه منه .
ولقد كان كيسيلىKessli ( 1941)1 الجيومورفولوجى الامريكى من أشد المعارضين لمفهوم التعادل . وعرض عددا من البراهين التى تدل على استحاله وجود توازن بين طاقه النهر والارساب فى أيه لحظه معلومه . ذلك لان الطاقه Energy الكليه للنهر متغيره للغايه ، تبعا لاختلاف تصريف النهر ، وتباين كمياته على فترات قصيره جدا ، بسبب التنوع المناخى بين تساقط وجفاف . وانه لمن الصعب تصور أن تتغير حموله النهر وتتبدل بين الكثره و القله فى تناسق تام تلك الذبذبات فى طاقه النهر بدون أن يتخلل ذلك فترات تراخى أو ضعف لاى من عمليتى النحت ( النقاط الحموله Pick-up) أو الارساب .
ويعتقد كيسيلى أن الانهار لا يمكن أن تصبح كامله الحموله ، فهو يرى أنهار قليله الحموله Under Loaded والسبب فى ذلك أن النهر يحتاج لمواصله تحريكها وبناء على هذا فإذا لم يكن النهر يملك طاقه منذ الوهله الاولى فإنه لن يستطيع التغلب على مقاومه حبيبات الحموله المستقره ، وفى مثل هذه الحاله ستكون طاقته فائضه . اما إذا كانت لديه طاقه كافيه لتحريك حبيبات الحموله المستقره ، فإن جزء من هذه الطاقه يصبح فى التو زائدا .
هذا بالاضافه إلى مدى توافر الحموله الذى يؤثر بدوره فى قله الحموله الدائمه للانهار .
ورغم هذه الاعتراضات والصعوبات ، فإن مفهوم التعادل مازال مفيدا ، خصوصا إذا ما استخدمناه بشئ من المرونه ، وعرفناه بشئ من الحرص ، كما فعل ماكين Mackin (1948)8 الذى عرف مفهوم التعادل بالآتى :
" النهر المتعادل هو النهر الذى ، بما أوتى من تصريف مائى وخصائص مجرى معلومه ، يكون انحداره ، على امتداد فتره من السنين بمجرد القدر اللازم لتوفير السرعه Velocity اللازمه لنقل الحموله التى ترد إليه من أعاليه " ومن الواضح أن ماكين Mackin ، مثل ديفز ، يعتبر التعادل حاله وسطى ، قد يحيد النهر عنها من وقت لاخر ولمده قصيره ، لكنه يرجع إليها بعد تلك المده باعادة انضباط انحدار المجرى اما بالنحت أو بالارساب . والواقع أن آراء ماكين لها وجاهتها . فمن المعروف أن بكثير من أوديه الانهار مدرجات جرى نحت أساسها فى الصخر ، وغطيت بفرشات من الرواسب القرينيه ، و الحصوية وتنحدر تلك المدرجات نحو مصبات الانهار بمعدلات مماثله لمعدلات انحدرات مجاريها. ولا يمكن تفسير هذه الظاهرة إلا بالاستدلال على أن انحدار المجرى يتلاءم ويتواءم بدقه مع ظروف التصريف المائى والحموله ، ومادامت هذه الظروف مستقره لا تغيير فيها رغم امكانيه حدوث اضطرابات ناشئه عن حركه رفع للأرض أو هبوط فى منسوب البحر ، فإن هذا الانحدار الدقيق يمكن استعادته والحفاظ عليه .
ويرى ماكين Mackin أيضا أن النهر المتعادل هو " نظام فى حاله توازن " وأن أى تغير فى أى من العوامل المتحكمه كالتصريف المائى ، أو الحموله أو المناخ ...
لابد أن يحث "ا نتقالات أو تحولا فى التوازن فى اتجاه يمكن امتصاص تأثير هذا التغير " ويمكن توضيح مقصد ماكين بضرب المثال البسيط التالى :ــ
فلقد تزداد حموله نهر فجأه ربما نتيجه لتغير مناخى استلزم سرعه التجويه ايضا ، ومن ثم يحل محل التعادل حاله زياده الحموله Over Loaded وعندئذ تترسب مباشره كميه من الحموله الزائده حينما بدأ التدفق ، مما يسبب شده فى انحدار المجرى . وتبعا لذلك تزداد طاقه النهر ، وبمرور الزمن يتمكن من نقل الحموله الزائده . ومن ثم يمكن التغلب على حاله الحموله الزائده بواسطه إزدياد انحدار المجرى ( بالارساب Aggradation للوصول للتعادل ) ويسترجع التعادل من جديد .
ويرى كثير من بحاث عمليات التعريه النهريه الحديثين أن " التعادل بالشكل الذى شرحناه من خلال آراء جيلبيرت Gilbert ، وديفيز Davis و ماكين Mackin غير مقبول وهو حاله لايمكن لنهر الوصول اليها عمليا ومع هذا فهم يرضون بامكانيه النهر الوصول إلى حاله تعادل ظاهريه Quasi-equilibrium وعلى الرغم من آراء " ماكين " تعتبر مقبوله ومفيده كنقطه بدايه ، فإنه يعتقد أنه اشتط فى تركيز وتأكيد اهميه انحدار المجرى . ويرى ليوبولد وزملاؤه ( 1964 ) أن هنالك ثمانى متغيرات متربطه تتحكم فى انحدار النهر وشكل المجرى هى :
العرض ، العمق ، السرعه ، الانحدار ، الحموله ، أحجام مكونات الحموله ، الاضطراب المائى ، التصريف المائى .
ولابد لاى حاله توازن نهرى من اعتبار هذه المتغيرات جميعا . وأن أى تغير فى واحد منها لابد وان يؤثر فى كل المتغيرات الاخرى أو فى بعضها . مثال ذلك يمكن تعويض الزياده فى الحموله ليس بمجرد تغير فى الانحدار (كما وصفنا فى المثال الذى ضربناه سابقا ) وانما بتغيير فى عمق واتساع المجرى وفى سرعه النهر مثلا .

تأثير مستوى القاعدة فى التعريه النهريه
من الحقائق الجيومورفولوجيه الثابته شده تأثر النشاط النهرى بمستوى قاعده التعريه . وتصب الغالبيه العظمى من الانهار فى البحر الذى يمثل مستوى سطحه الحد الذى تنتهى اليه عمليات التعريه ولاتتعداه . وتعتبر البحيرات مستويات تعريه محليه مؤقته للأنهار التى تجرى فيها ، ذلك أن مآلها إلى الزوال أما بتصريف مياهها عن طريق النحت الرأسى بواسطه الانهار التى تتصرف منها بواسطه الاطماء وحشوها بالرواسب النهريه . وان من بين مهام النهر فى جهاده من أجل الوصول إلى قطاع طولى متعادل ، وبافتراض استقرار منسوب البحر ، إزاله كل ما يعترض المجرى من مسارع وجنادل وشلالات وايضا من بحيرات .
وتأثير مستوى القاعده على قطاع التعادل واضحه ، ذلك أن امثال هذا القطاع فى أجزائها الدنيا تكاد تمس منسوب البحر . فإنحدرات قطاعات الانهر تصير لطيفه هينه بصوره تدريجيه تجاه المصب ، لكنها لا يمكن ان تستقيم فى هيئه افقيه ، فلابد من بعض الانحدار ، وان كان ضئيلا للغايه ، لكى تجرى المياه فى المجرى .
تأثير انخفاض منسوب البحر على القطاع الطولى للنهر
تاثيرات انخفاض منسوب البحر ، التى يعبر عنها " بالحركه السالبه " أكثر تعقيد وتنوعا . والنتيجه السريعه المباشره تتمثل فى اطاله مجرى النهر من خط الشاطئ القديم إلى خط الشاطئ الجديد . ونظرا لان انحدار الجزء الجديد من المجرى يكون فى العادة أكبر من انحدار الجزء الادنى من مجرى النهر القديم فإن هذا الجزء الجديد المضاف يتصف بطاقه نهريه أكبر وقدره متجدده على النحت الرأسى ، وهذا خاصيه من خصائص النهر الشاب ويؤثر تجديد الشباب Rejuvenation هذا فى مصب النهر ، وفى حاله توفر الشروط االمناسبة فإن هذا الجزء الجديد من المجرى يعانى نحتا تراجعيا باعتباره نقطه تقطع Knickpoit حسبما وصفنا .
وبمرور الزمن يعاد تعادل القطاع الطولى الاصلى للنهر إلى مستوى البحر الجديد (منسوب القاعده الجديد) .
ولقد تتكرر هذه العمليه عده مرات ، فيتتابع هبوط مستوى القاعدة ، وينشأ عن ذلك سلسله متعاقبه من نقط التقطع . ويظهر فى كثير من الانهار نقط تقطع عديدة ، بسبب التغيرات الكثيره التى حدثت لمستوى القاعده أثناء الزمن الرابع ، ويفصل كل نقطه منها عن الاخرى جزء من مجرى النهر تعادل إلى مستوى بحر أعلى من مستوى البحر فى وقتنا الحالى .
فلقد حفز وجود هذه القطاعات الطوليه النهريه المتعدده الدوره جمهره الجيومورفولوجيين لتقصى امكانيه تقرير مستويات البحر العاليه السابقه بدقه ، وتلك المناسبب التى ترمز اليها الارصفه البحريه التحاتيه المرتفعه المصحوبه بجروف تحاتيه ، وخطوط الشواطئ العاليه القديمه ، وذلك باستقراء أجزاء القطاع المتعادلة . ويمكن القيام بهذه المهمه على نحو تقريبى بالعين المجرده لكن هناك طريقه علمية هى " الاستقراء الرياضى " فلقد أمكن الاستدلال على أن قطاعات الانهر المتعادلة تماثل الاقواس الرياضيه إلى حد كبير ، عاده بشكل لوغرتمى بسيط . فإذا ما أمكن ابتكار معادله رياضيه لتناسب جزء متعادل باقيا من قطاع طولى لنهر ، فإنه من الممكن بدقه اعاده بناء كل القطاع السابق واكتشاف ارتفاع مستوى البحر المعاصر .
ولقد استخدام جرينGreen (1934)4 عند دراسته لنهر مول Mole المعادلة الآتيه :
ع = أ – ك لو (ل – م)
باعتبار (ع) ارتفاع المجرى فوق منسوب البحر ، (أ) (و) (ك) ثوابت تتقررلكل نهر ، (ل) طول المجرى ، (م) المسافه من مصب النهر .
ومع هذا فقد أثبتت الدراسات العمليه نشؤ مشكلات معينه عند استخدام الاستقراء ، توجزها فيما يلى :
1 ـ ينبغى أن نعرف أن الاجزاء المتعادله التى لم يدركها تراجع نقط التقطع بعد ، تكون ذات امتداد محدود جدا ، ومن الممكن أن تتلائم مع أقواس عده ، باستخدام معادلات تختلف عن بعضها اختلافا بسيطا ، و التى تعطى عدة مستويات بحريه واضحه . وفى هذه الحاله ينبغى ايجاد وسيله بواستطها يمكن تقرير أى المعادلات أصح ، أن وجدت . وتستخدم المصاطب النهريه أحيانا كعامل مقرر فى الاستقراء الرياضى ، كما أوضح براون(Brown (1952 فى دراسته لنهر يستويت Yestwythففى الشكل تظهر ثلاثه قطاعات قديمه ممكنة مع بقايا مدرجات نهريه ومن الواضح أن العلوى (أ) مفرط الارتفاع ، والسفلى (ج) مفرط الانخفاض والاوسط (ب) هو المحتمل الصحه .
2ـ لكى تستكمل الدراسه الدقيقه لابد من معرفه خط ارتفاع الشاطئ القديم أو بمعنى آخر الطول الصحيح للنهر القديم . وذلك بسبب الطبيعه المتقاربه للقطاعات النهريه الطوليه . ولهذا فان استخدام الطرق الاستقرائيه الرياضيه ينبغى أن يتضمن دراسه بقايا الشواطئ العاليه والارصفه البحريه المرتفعه .
3ـ عند استخدام الاجزاء المتعادلة لتقرير المستويات البحريه السالفه ، يفترض الدارس ضمنيا أن تلك الاجزاء لم يصيبها التعديل والتحوير أما بسبب النحت أو الارساب أو بكليها . وبطبيعه الحال هذا الافتراض غير صحيح ، ذلك لان الماء الجارى الذى ينقل حموله لابد وأن ينسب فى تعديل مجراة على امتداد فترة طويله من الزمن .
4 ـ إنه من الصعب التعرف بدقه على نقطه التقطع والاجزاء المتعادلة الناشئه عن تغيرات فى مستوى القاعدة . ونقط التقطع من نمطين رئيسين نمط دورى Cyclic يرتبط بإنخفاض مستوى القاعدة ، ونمط تركيبي Structural يتصل بمكاشف الصخور الصلده ، والعيوب . وفضلا عن ذلك فإن نقط التقطع الدوريه قد تصادف حاجزا تركيبيا أثناء تراجعها بالنحت صوب المنبع ، وبالتالى تعلق به ، فلا يمكن تمييزها عن نقط التقطع التركيبيه . وعلى العكس من ذلك ، فقد تتراجع نقط التقطع التركيبيه وتشق طريقها تراجعيا خلال الحواجز التى أنشأتها ، ومن ثم تماثل بأوضاعها الجديده نقط التقطع الدوريه . وان كان البعض يشكك فى هذا الاحتمال الاخير ويعتقد بأن نقط تقطع صخور المجرى تبقى مرتبطه بالحواحز التركيبيه إلى أن تتحطم بواسطه عمليه التعادل . ولقد يمكن تفادى الخلط بين نقط التقطع الدوريه والاخرى التركيبيه اذا ما أمكن اجراء مسح لعدد من الانهر فى مساحه واحده اما فى حوض واحد أو أحواض منفصله . فاذا ما أمكن ايضاح أجزاء نهريه متعادلة ومحدودة فى اتجاه المصب بنقط تقطع كل تلك الانهار أو فى معظمها ، وتم استقراؤها لنفس المناسب البحريه على وجه التقريب ، فانها حينئذ تكون أقرب إلى الصواب وأبعد من أن تكون ظواهر عشوائيه .